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德國數學家 克羅內克 生平簡介

時間:2019-11-05 23:00來源:知行網www.wzliqi.com 編輯:麥田守望者

數學史話之整數才是上帝創造的克羅內克

利奧波德·克羅內克

利奧波德·克羅內克于1823年出生在普魯士的利格尼茨(現屬波蘭的萊格尼察,科普君在講到德國數學家的時候,經常會出現他們的出生地原屬地和現屬地,這是幾次戰爭的結果,特別是二戰),他是一個猶太人。他的父親擁有一家生意興旺的商店,還受過十分良好的教育?肆_內克的啟蒙教育就是在他父親的要求下,跟一個私人教師學習開始的?肆_內克還有一個比他小17歲的弟弟胡戈,后來胡戈的教育培養則是由克羅內克完成的,這也說明了后來克羅內克對自己的學生為什么那么有耐心了?肆_內克后來進入大學預科,這時候他開始接觸神學和哲學。另外,他的一個老師--我們之前講過的,德國數學家--庫默爾也給了他非常大的影響?肆_內克在校的成績一貫是優秀的,他輕松掌握了希臘和拉丁古典文學,并在庫默爾的指導之下,他的數學天賦也被激發了出來。另外,他對鋼琴、歌唱、繪畫、雕塑和希伯來語都非常有興趣,并且極其擅長。他在晚年的時候,他的住所經常是音樂家的聚會場所,其中就包括門德爾松。

數學史話之整數才是上帝創造的克羅內克

庫默爾

克羅內克在18歲的時候進入了柏林大學,開始專門注重數學的學習。這時候的柏林大學大師如云,有狄利克雷、雅克比、施泰納和艾森斯坦等人。其中狄利克雷和雅克比對克羅內克的影響非常大,狄利克雷對分析學在數論上的應用深深影響了克羅內克,使得他后來的著作中都有他的影子,而雅克比讓克羅內克愛上了橢圓函數,后來克羅內克在橢圓函數領域的獨創性的輝煌成就都來自于那段時間。然而克羅內克在大學時期并不只是學習數學,他還愛好哲學,深入研究了黑格爾的哲學體系,他還經常參加大學的學生民主活動?傊,克羅內克的大學生涯是十分豐富多彩的。

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狄利克雷

1845年,克羅內克提交了他的博士論文《論復單位元》,在這篇論文中,他論述了關于代數數域中的單位元素問題。代數數理論的中心問題是研究在n次代數數域中代數整數的算術可除性規律。要使這個問題明確,就必須要嚴格定義"算術可除性"?肆_內克在論文中著手解決某些特殊的域中的單位元素理論,這些域是從高斯問題的代數表示產生的方程定義的,高斯問題是一個將圓周分成n等分或者構造一個正n變形的問題。而這些都是從費馬大定理出發的,問題充滿了陷阱,比如我們在庫默爾那一章中就說到過柯西曾經就掉到了陷阱里,庫默爾也差點掉進去。這個問題的難點在于:這里是一種有關域中的整數,但這些整數并不遵循算術基本定理。如何讓它們遵循規律,就必須要發明一種適合這種情形的數--就是庫默爾發明的理想數--從而自動重建算術基本定律。這個發明與非歐幾何被稱為19世紀最突出的數學成就之一?肆_內克因為這篇論文而獲得了博士學位。

但是之后,他并沒有像很多數學家一樣開始了教學生涯,而是回到自己家去繼承了遺產,他的舅舅是個銀行家,還掌管了很大的農場,他的舅舅去世以后,克羅內克接管了這一切。他用了8年時間把這些事業做得非常成功,他甚至還精通了農業。在這8年中,他并沒有進行任何的數學研究;蛟S1853年的時候,他發表的一篇關于方程的代數解的重要論文說明了他在這8年間在數學上并沒有停滯不前,他也經常和他的老師庫默爾保持通信聯系。

克羅內克關于方程的代數解的論文發表后,他終于擺脫了具體業務對他的束縛,開始從事伽羅瓦理論的研究。他又花了幾年的時間尋找一般五次方程為什么可以用埃爾米特利用橢圓函數給出的解答這種方法來求解,這就要比阿貝爾的研究更進一步了,因為阿貝爾只是解決了"用格式"的可解性問題?肆_內克喜歡用算術來解決問題,他甚至希望把全部數學從代數到分析都實現算術化。他說"上帝造了整數,其他的數都是人造的",他要用算術來代替分析,這是他與維爾斯特拉斯分歧的根源。維爾斯特拉斯是個高大魁梧的壯漢,而克羅內克則不到5英尺高,兩人經常在一起爭鋒相對,場面極度戲劇化。另外,克羅內克還是康托爾集合論的極力反對者。

克羅內克最主要的功績在于努力統一數論、代數學和分析學的研究。他循著阿貝爾的工作研究代數方程,用橢圓模函數解出一般五次方程;發現有理數域的任一阿貝爾擴張一定是一分圓域的子域,并提出著名猜想(即克羅內克的青春之夢):橢圓函數具有復數乘法的模方程與虛二次域的阿貝爾擴張有類似性。他創立了有理函數域論,引進在域上添加代數量生成擴域的概念和"模系"(相當于現代的"理想")概念,實際上證明了有理系數多項式環,因而使代數數的理論獨立于代數基本定理。他還提出研究代數曲線的重要方法。

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克羅內克積

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